Reducción, completitud, medidas de asimetría y sistemas completos de desigualdades

Estancia finalizada:

Resumen curriculum:

Nace en Murcia en 1985. En 2008 obtiene la licenciatura de Matemáticas por la Universidad de Murcia, obteniendo el premio fin de carrera. En el año 2009 cursa el máster de doctorado en Matemáticas en la Universidad de Murcia, así como el Curso de Aptitud Pegagógica C.A.P.

Entre 2009 y 2013 desarrolló su proyecto de tesis doctoral en el grupo de Geometría Diferencial y Convexa de la facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia, bajo la dirección de la Dra. María A. Hernández Cifre. Durante este tiempo, disfrutó de las becas a la Introducción Científica en 2008, así como de una beca predoctoral de la Fundación Séneca, entre los años 2009 y 2012.

Mientras desarrolló la tesis doctoral realizó estancias investigadoras en las universidadesAutónoma de Barcelona en 2009, Otto-von-Guericke de Magdeburg bajo la supervisión del Prof. Martin Henk en 2010, y Técnica de Múnich bajo la supervisión del Prof. Peter Gritzmann y René Brandenberg.

En la etapa postdoctoral, disfrutó de un contrato postdoctoral en el grupo de Geometría Diferencial y Convexa, bajo la supervisión de la Prof. Hernández Cifre, una Ayuda para estancias cortas postdoctorales en el IMUS, Universidad de Sevilla, bajo la supervisión del Prof. Rafael Villa, y una beca Research in Pairs, en el Instituto de Matemáticas en Oberwolfach, durante 2014.

Posteriormente, es contratado en la Universidad Técnica de Münich, en donde participa como profesor en el seminario "Convexity" y la asignatura "Fundamentals of Convex Optimization", durante 2015.

Posee comunicaciones en congresos nacionales e internacionales, así como publicaciones científicas en revistas de carácter internacional. Domina la lengua inglesa y española, y tiene conocimientos de francés y alemán.

Resumen proyecto posdoctoral:

El proyecto que presentamos a continuación tiene sus raíces en algunos de los problemas (aún) abiertos más conocidos en Geometría Convexa. Una gran parte de su interés se debe a que en los últimos años han sido descubiertas conexiones entre algunos de estos problemas con conceptos de Análisis Funcional, Geometría de Banach, Geometría Computacional u Optimización Discreta, entre otros.

Entre otros, hay dos resultados que motivan enormemente este proyecto: el primero consiste en la desigualdad 2R(K,C)/D(K,C)=w(C,K)/(2r(C,K))<=(s(C)+1)s(K)/(s(K)+1). Esta extiende a la vez dos resultados fundamentales de los espacios de Minkowski, como son la desigualdad de Bohnenblust R(K,C)/D(K,C)<=n/(n+1) y la desigualdad de Leichtweiss w(K,C)/r(K,C)<=n+1, ambas siendo válidas sólo cuando C=-C. El segundo resultado es la existencia de un K* completo tal que j_C=R(K*,C)/D(K*,C). Esta conexión entre radios, completitud, y asimetría tiene multitud de implicaciones, como por ejemplo en trabajos de Boltyanskii y Martini, de Guo y Jin, o de Moreno y Schneider.

Uno de los objetivos de este proyecto es comprender mejor estos funcionales y relacionarlos entre sí. Muchos son conceptos clásicos; no obstante, algunos como los conjuntos completos y reducidos (clave en optimización o en desigualdades geométricas) han sido tan sólo estudiados en detalle en el plano – incluso el caso tridimensional siempre se ha mostrado tremendamente esquivo. Grünbaum observó que s(K)=mín{d_BM(K,C):C=-C}. Esta conexión hace aún más interesante el estudio de la asimetría de Minkowski.

En resumen, este proyecto trata de abordar estas cuestiones, teniendo en cuenta todos los resultados conocidos hasta la fecha, tratando de ensamblarlos de una manera coherente, para así poder explicar cuestiones que hasta ahora, muy posiblemente debido a haber sido tratadas “localmente”, no habían podido ser resueltas.

Resultados destacables del proyecto posdoctoral:

Como resultados parciales, hemos desarrollado nuevas desigualdades por medio de la asimetría de Minkowski. En concreto, s(C)r(K,C)+R(K,C)<=((s(C)+1)/2)D(K,C), la cual extiende multitud de conocidas desigualdades de Santaló y otros.

Tipo Estancia Investigadora:

Posdoctoral

Año del Programa:

2015

¿Tienes blog?. Si quieres públicar aqui tu blog pon la dirección:

https://www.researchgate.net/profile/Bernardo_Gonzalez_Merino

https://scholar.google.es/citations?user=WcHcUTkAAAAJ&hl=es

http://www-m9.ma.tum.de/Allgemeines/BernardoGonzalesMerino

Datos Personales

Nombre:

Bernardo

Primer Apellido:

González

Segundo Apellido:

Merino

Nombre completo:

González Merino, Bernardo

bgmerino@gmail.com

Lugar de Nacimiento:

ESPAÑA

Titulación (doctor en ...):

Doctor en Matemáticas

Doctor por la Universidad de:

Universidad de Murcia

Area de Conocimiento:

Matemáticas, computación, informática, electrónica y comunicaciones

Estancias Anteriores:

-Centre de Recerca Matemática (CRM), Barcelona, 2009, 3 meses, "Doccourse: Discrete and Computational Geometry". -Otto-von-Guericke Universität, Magdeburg, 2010, 3 meses, estancia de investigación. -Technische Universität München, München, 2011 (2 meses), 2012 (3 meses), estancias de investigación. -Universidad de Sevilla, 2014 (4 meses), beca postdoctoral. -Oberwolfach mathematisches forschungsinstitut (OMF), Oberwolfach, 2014 (1 mes), beca postdoctoral.

Actualmente investigas en la línea:

Geometría Convexa es la principa línea de investigación en la que trabajo. Aún así, mis trabajos intersectan con líneas afines tales como la Geometría de Números, Análisis Funcional, y Topología.

Principales 5 resultados:

-Estudio del comportamiento de los radios sucesivos respecto a la suma de MInkowski. -Descripción completa del diagrama de Baschke-Santaló 3 dimensional del inradio, circunradio, anchura minima y diámetro de un cuerpo plano. -Extensión de numerosos conceptos de Geometría Convexa a espacios de funciones, tales como el elipsoide de John o las desigualdades de Rogers-Shephard. -Extensión del Teorema Fundamental de Minkowski, versión discreta. -Relación óptima entre la constante de Jung y la máxima asimetría de Minkowski de un cuerpo completo.

Dirección Profesional:

Boltzmannstr. 3 Garching bei München

Centro de Investigación

País:

ALEMANIA

Nombre del Centro:

Technische Universität München, Zentrum Mathematik

Departamento del centro:

Angewante Geometrie und Diskrete Mathematik (Geometría Aplicada y Matemática Discreta)

Dinos por qué elegistes este centro:

El centro representa una de las universidades más potentes en investigación, con matemáticos de la talla de, por citar a algunos de los Profesores, Michael Wolff o Jürgen Richter-Gebert. Por otro lado, me brinda la oportundad única de desarrollar mi investigación con los matemáticos más adecuados para mi tarea, como son Peter Gritzmann y René Brandenberg.

¿Cómo accediste al centro? (tu grupo de Murcia investigaba en él, tenías buenas referencias, ya habías estado allí...):

En 2010, mientras llevaba a cabo mi primera estancia de investigación en la Universidad de Magdeburg, coincidí en un congreso junto con René Brandenberg. Él ya era conocido de mi directora de tesis, así que fue fácil entablar una relación de trabajo. Posteriormente, llevé a cabo dos estancias de investigación en el grupo en el que actualmente trabajo.

¿Por qué te admitieron, qué tramites seguiste para ello?:

Creyeron que sería una gran oportunidad colaborativa para ambas partes. Por tanto, no dudaron en ofrecerme toda la ayuda posible (especialmente en cuanto a sus CV y a leer cuidadosamente el proyecto de trabajo.

WEB del centro:

http://www-m9.ma.tum.de/Allgemeines/WebHome

Localidad:

Garching

Provincia:

München

Investigadores relevantes del centro (nobel, investigadores más importantes...):

Jürgen Richter-Gebert, Michael Wolff.

¿Qué consejos darías a otros jóvenes investigadores que quieran acudir a este centro?:

Es un centro de una alta calidad. En el Zentrum Mathematik encontrarán muchas oportunidades, especialmente en el ámbito de la Matemática Aplicada.

Ubicación

Garching Forschungszentrum

Boltzmannstr. 3

Garching bei München 85747

Germany

See map: Google Maps

Estancia Investigadora

¿Qué estas haciendo? En pocas frases explícanoslo por favor:

Estoy trabajando y desentrañando la relación existente entre la asimetría de MInkowski y muchos otros conceptos fundamentales de la Geometría Convexa. Actualmente trabajamos muy intensamente en desentrañar la información codificada en la definición de la Constante de Jung,pues todo parece indicar que, de alguna manera, sus puntos de asimetría "determinan" completamente el valor de dicha constante. Además de dedicar la mayor parte de mi trabajo a la investigación, la beca postdoctoral Fundación Séneca me ha permitido entablar contactos en diversas universidades del mundo, así como dar visibilidad a mi investigación. Me gustaría resaltar que en el curso 2016/17, he dirigido una asignatura del Máster de Matemáticas e Informática en la TU München, que me gustaría calificar de resultados excelentes (véase https://www-m9.ma.tum.de/WS2016/ConvDiscG). Gracias a ello, se me ha permitido llevar a cabo mi tesis de Habilitation alemana, supervisada por Michael Wolf, Peter Gritzmann, y Martin Henk, y que ya ha sido aceptada.

Objetivos científicos alcanzados hasta la fecha que desees destacar:

Sirvan estas líneas como resumen de los resultados alcanzados hasta la fecha durante el desarrollo de la beca postdoctoral Fundación Séneca. Me gustaría comenzar comentando que a mediados del año 2016, hemos visto aceptado nuestro artículo "A complete 3-dimensional Blaschke-Santaló diagram", publicado en Mathematical Analysis and Applications, junto con René Brandenberg. Por otro lado, concluí un artículo parcialmente resuelto durante mi tesis doctoral, sobre algunos problemas trabajados por el medallista Fields Grigori Ya Perel'man (véase "Improving bounds for the Perel'man-Pukhov quotient for inner and outer radii", publicado en Journal of Convex Analysis). En la rama de investigación principal. En primer lugar, hemos resuelto el problema de hallar el cuerpo completo más asimétrico en cualquier espacio de Minkowski, a través de la constante de Jung del espacio (véase "The asymmetry of complete and constant width bodies in general normed spaces and the Jung constant", publicado en Israel Journal of Mathematics, junto con René Brandenberg). En concreto, damos diversas caracterizaciones sobre cuándo un símplice es completo. Esto nos lleva a la siguiente pregunta: cuándo un símplice es completo en espacios en los que la boda unidad no sea centralmente simétrica. Recientemente, hemos estudiado esa cuestión a través de multitud de nuevas desigualdades, poniendo de manifiesto la importancia de la asimetría de Minkowski (véase "Minkowski concentricity and complete simplices", ArXiv;1612.06767, junto con René Brandenberg). Los cuerpos reducidos son a la anchura mínima lo que los completos son al diámetro. Parte de nuestros estudios se han centrado en tratar de ententer cómo se corresponden las propiedades de los cuerpos completos con los reducidos. Por un lado, hemos planteado y estudiado la cuestión sobre cuándo un cuerpo completo y reducido es de anchura constante, llegando a fascinantes conclusiones (véase "Is a complete, reduced set necessarily of constant width?", publicado en Advances in Geometry, junto con René Brandenberg, Thomas Jahn, y Horst Martini). Por otro lado, hemos logrado resolver una de las cuestiones más antiguas en la teoría de cuerpos reducidos: demostrar la existencia de poliedros reducidos en dimensión 3 (véase "Hunting for reduced polytopes", ArXiv:1701.08629, junto con Thomas Jahn, Alexandr Polyanskii, y Gerd Wachsmuth), lo que abre puertas a soluciones de problemas aún más antiguos, tales como el Problema de Pál. Mucho más material de trabajo está resuelto, aunque todavía está por elaborar.  En segundo lugar, he colaborado en otros dos temas de trabajo. El primero es en Geometría de Números. A finales de 2015 fue aceptado nuestro trabajo sobre la extensión del Teorema Discreto de Minkowski (véase "A generalization of the discrete version of Minkowski's fundamental theorem", en Mathematika, junto con Matthias Henze). Como consecuencia del mismo, comenzamos una muy fructífera colaboración con un equipo de trabajo de la Universidad de Magdeburg, con los que resolvimos una pregunta abierta formulada en el año 2014: calcular el comportamiento asintótico de los Números cuantitativos de Helly (véase "Tight bounds on discrete quantitative Helly numbers", ArXiv:1602.07839, junto con Gennadiy Averkov, Matthias Henze, Ingo Paschke, y Stefan Weltge).  Por otro lado, hemos estudiado el análogo del conocido como Segundo Teorema de Minkowski, demostrado para los Mínimos Sucesivos de una cuerpo convexo, pero esta vez para los Mínimos de cubrimiento (véase "On densities of lattice arrangements intersecting every i-dimensional affine subspace", ArXiv:1605.00443, junto con Matthias Henze).  El segundo es en Análisis Geométrico. Por una lado, hemos visto publicado nuestro trabajo sobre diversas versiones funcionales de los conocidos teoremas de Rogers y Shephard (véase "Rogers-Shephard inequality for log-concave functions", publicado en Journal of Functional Analysis, junto con David Alonso-Guitérrez, C. Hugo Jiménez, y Rafael Villa). Más recientemente, hemos terminado y visto aceptado nuestro trabajo en el estudio del elipsoid de máxima integral de una función log-cóncava (véase "John's ellipsoid and the integral ratio of a log-concave function", publicado en Journal of Geometric Analysis, junto con David Alonso-Gutiérrez, C. Hugo Jiménez, y Rafael Villa).

Investigadores o grupo de investigación con el que colaboras:

Actualmente colaboro en trabajos de investigación con René Brandenberg, Matthias Henze, Horst Martini, Gennadiy Averkov, Stefan Weltje, David Alonso-Guitérrez, Hugo Jiménez y Rafael Villa.

¿Quieres poner un enlace a alguna publicación o resultado tuyo para compartirlo?:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022123616302610

Tu ciudad

Y cuando no investigas, ¿qué te ofrece la ciudad para tu tiempo libre?:

Yo vivo en Eching, cerca de Garching, donde se ubica la universidad, a unos 20 kilómetros de la ciudad Munich. Eching dispone de una panadería, una tienda de ropa, un restaurante griego, uno turco, y dos italianos. Pero sobre todo, destaca por su gente, sociable y predispuesta a echar una mano siempre que se necesite. Además, el pueblo cuenta con grandes instalaciones deportivas en donde jugar fútbol, baloncesto y voleybol, así como algunas pistas de tenis y de voley playa -abiertas en la época de verano.

Varios

Evento: haznos partícipes de algún evento importante tuyo o de tu centro de investigación:

En el curso 2015/16 he impartido algunas charlas en congresos: -Congreso de la RSME 2015 para Jóvenes investigadores, Murcia, -7. Thüringer Geometrietag, Jena, Alemania, -IV Workshop in Functional Analysis, Cartagena, -Discrete Geometry Days, Budapest, Hungría, -7th European Congress of Mathematics, Berlín, Alemania.

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