La multiresolución de Harten es un campo de la matemática aplicada que trata de explotar la redundancia local presente en funciones, imágenes o información procedente del muestreo de una variable física presente en la naturaleza. Este muestreo se traducirá en un vector de datos cuyas dimensiones dependerán de la aplicación. Si lo que estamos analizando es una magnitud física unidimensional (temperatura, velocidad, etc en un punto) obtendremos un vector. Si estamos analizando un dominio en el espacio, obtendremos una matriz de datos, (un ejemplo típico sería una imagen). La teoría de Harten es general, y permite el tratamiento en distintas escalas de la información original. Su generalidad reside en que impone pocas restricciones sobre los operadores que permiten pasar de una escala a otra en la llamada pirámide de multirresolución. Todos estos operadores pueden ser lineales y tan solo algunos de ellos pueden ser no lineales. Más en concreto, el operador de reconstrucción puede ser no lineal. Dicha no linealidad nos permite introducir una herramienta increíblemente potente para adaptarnos a las discontinuidades presentes en los datos. La unión de la multirresolución de Harten a operadores no lineales permite mejorar los resultados obtenidos por esquemas clásicos de tipo lineal, por ejemplo la interpolación de Lagrange, reduciendo efectos numéricos como el fenómeno de Gibbs.

Por otro lado, los polinomios ortogonales son un campo de la matemática bastante asentado. Polinomios como los de Laguerre, Hermite, Legendre o Chebyshev son bien conocidos y encuentran amplias aplicaciones en todos los campos de la ciencia y la ingeniería. La teoría de polinomios para-ortogonales no es tan conocida. Esta teoría nace en 1989 como el resultado de debilitar las condiciones de ortogonalidad. Una clase de equivalencia de ellos son los análogos a los ortogonales con respecto a medidas en la recta. En cuadratura en la circunferencia, son estos polinomios los que juegan el papel de los ortogonales en la recta. En el último año han aparecido trabajos sobre ellos y se ha dotado a la teoría de recurrencia y resultados análogos a los clásicos resultados de Favard y Geronimus-Wendroff. Debemos tener en cuenta que son contados los nombres que han trabajado en ello y su uso fuera del campo cerrado de los polinomios ortogonales y áreas vecinas es prácticamente nulo por desconocido. Por lo tanto, el uso de estos polinomios junto a técnicas de multirresolución es un campo poco desarrollado. Si incorporamos términos no lineales a estos polinomios ortogonales y los combinamos con técnicas de multirresolución, obtenemos una potente herramienta para adaptarnos a situaciones donde aparecen datos discontinuos. Estas situaciones son difícilmente tratables mediante técnicas lineales.

Por lo tanto, con este proyecto se pretende ampliar el conocimiento sobre este tipo de técnicas aplicadas al tratamiento de datos que presentan discontinuidades. Como se ha mencionado, las posibles aplicaciones de los resultados obtenidos serían muy amplias, yendo desde la compresión o eliminación de ruido en series de datos o imágenes, hasta la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales.