Este proyecto tiene sus raíces en algunos de los problemas aún abiertos más conocidos en Geometría Convexa. Una gran parte de su interés se debe a que en los últimos años han sido descubiertas conexiones entre algunos de estos problemas con conceptos de Análisis Funcional, Geometría de Banach y Computacional, u Optimización Discreta, entre otros. Nuestro enfoque para abordar estas cuestiones es desde los llamados radios de un cuerpo convexo.

Objetos de Estudio

Los objetos de estudio en esta memoria son por un lado clásicos, pues han convivido casi desde que comenzara la teoría de conjuntos convexos; pero por otro lado, siempre han sido abordados de manera individual, nunca como un todo. De hecho, nuestra motivación para llevar a cabo este proyecto proviene de dos resultados recientes, en los que es necesario el uso de conceptos que a priori parece carecieran de conexiones.

Resultados Recientes

El primero de ellos es una desigualdad, demostrada por Brandenberg y König en 2013, que relaciona el circunradio con el diámetro de un cuerpo convexo, medidos con respecto a un cuerpo convexo general C. Esta desigualdad extiende las conocidas desigualdades demostradas por Bohnenblust en 1938 y Leichtweiss en 1955, por medio del uso de la asimetría de Minkowski del cuerpo C. El segundo de los resultados, demostrado en un trabajo reciente junto a Brandenberg, también hace uso de esta asimetría. En particular, demostramos que la llamada constante de Jung de un espacio de Minkowski (el mayor cociente entre el circunradio y el diámetro para cualquier cuerpo convexo) se alcanza en un conjunto (diametralmente) completo de asimetría máxima s(K), y este valor es exactamente s(K)/(s(K)+1). Esta conexión entre radios, completitud, y asimetría tiene multitud de implicaciones. De hecho, esa "identificación" permite traducir resultados de asimetría en resultados de radios y viceversa.

Funcionales y Conexiones

Uno de los objetivos de este proyecto es comprender mejor estos funcionales y relacionarlos entre sí. Muchos son conceptos clásicos; no obstante, algunos como los conjuntos completos y reducidos (claves en optimización o en desigualdades geométricas) han sido tan sólo estudiados en detalle en el plano (incluso el caso tridimensional siempre se ha mostrado muy esquivo). Grünbaum en 1963 observó que s(K)=mín{d_BM(K,C):C=-C}, donde d_BM es la distancia de Banach-Mazur. Esta conexión hace aún más interesante el estudio de la asimetría de Minkowski, como ya observaron los autores de Gordon et. al.

Desigualdades Geométricas

El vehículo de unión entre estos conceptos suele ser las desigualdades geométricas. Si existen suficientes de éstas, podemos plantear la cuestión de si forman un sistema completo de desigualdades para una familia de funcionales dada. El sistema (o diagrama) original de Blaschke en 1916 busca encontrar en este sentido suficientes desigualdades relacionando el volumen, área de superficie y curvatura media constante entre conjuntos tridimensionales. A día de hoy, el problema sigue incompleto. Posteriormente Santaló en 1961 planteó el problema análogo en el plano, de donde se han seguido multitud de trabajos recientes.

Conclusión

En resumen, este proyecto trata de abordar estas cuestiones, teniendo en cuenta todos los resultados conocidos hasta la fecha, tratando de ensamblarlos de una manera coherente, para así poder explicar cuestiones que hasta ahora, muy posiblemente debido a haber sido tratadas localmente, no habían podido ser resueltas, como la relación entre completo y reducido, o el diagrama de Blaschke.