El principal objetivo de esta tesis es estudiar diversos problemas de controlabilidad y control óptimo robusto para la ecuación de Bernoulli-Euler con incertidumbre en los parámetros físicos que aparecen en el modelo. Dicha incertidumbre, en general, es cuantificada a través de campos aleatorios correlacionados.

El estudio teórico y numérico de este tipo de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) con datos de entrada aleatorios es muy reciente y, en lo que concierne a la ecuación de Bernoulli-Euler, constituye un problema abierto. De manera más concreta, los objetivos de la tesis son los siguientes:

1. Obtener estimaciones de error para un método de colocación estocástica para la ecuación de Bernoulli-Euler con incertidumbre en los parámetros de la ecuación
2. Obtener resultados teóricos y numéricos para el problema de controlabilidad interna en promedio y robusta asociados a dicha ecuación
3. Resolver teórica y numéricamente el problema de control óptimo robusto de tipo piezoeléctrico para la ecuación de Bernoulli-Euler
4. Extender los métodos y resultados anteriores a otros sistemas vibratorios (modelos tipo Timoshenko, láminas, membranas, etc...)
5. Validar experimentalmente los resultados numéricos descritos en los puntos 1 y 3 anteriores
6. Estudiar posibles aplicaciones industriales

Esta actividad tiene un marcado carácter multidisciplinar. En efecto, la resolución numérica de EDPs con datos de entrada aleatorios y el estudio de problemas de controlabilidad y control óptimo para este tipo de sistemas constituyen la base matemática de este proyecto. Además, en el punto 3 anterior se especifica de manera precisa la forma en que el control actúa físicamente sobre el sistema.

Dado que el doctorando se integraría en un equipo multidisciplinar con capacidad de llevar a cabo experimentos sobre control piezoeléctrico en laboratorio, y gracias a su formación en Ingeniería Industrial, la tesis contempla una parte experimental cuya realización, muy posiblemente, requerirá una estancia de investigación por parte del doctorando en alguna universidad europea (en concreto en Alemania, Austria o Francia) con grupos de investigación que previamente han colaborado con algunos miembros del equipo de investigación donde se integraría el doctorando. En consecuencia, el alumno estaría en disposición de obtener un doctorado con mención europea.

Respecto de la originalidad e interés científico de esta propuesta de tesis, es importante señalar que el control robusto con incertidumbre cuantificada a través de métodos probabilísticos es un tema emergente en el ámbito de la Matemática Aplicada, el cual está empezando a suscitar el interés de diversos grupos internacionales de gran prestigio (entre otros, los equipos de A. Quarteroni y G. Allaire). De igual forma, el control piezoeléctrico de sistemas con dimensiones micrométricas está siendo objeto de estudios muy recientes en el campo de la Ingeniería de Sistemas Electrónicos y Automática.

En resumen, el trabajo propuesto en esta tesis debe contribuir tanto al desarrollo de un campo emergente en el ámbito de la Matemática Aplicada como al del control piezoeléctrico de sistemas micrométricos en Ingeniería, con más que posibles aplicaciones industriales.