La Tomografía Geométrica estudia cómo recuperar información sobre un objeto geométrico a partir de sus proyecciones sobre planos o sus secciones. Los problemas descritos en este proyecto se enmarcan en la Tomografía Geométrica y pertenecen a la intersección de Geometría Convexa, Análisis Armónico y Teoría de Operadores.

En particular, el proyecto está dedicado al estudio de los cuerpos proyección (o zonoides) y los cuerpos intersección, así como su conexión con los temas anteriores. Estos cuerpos desempeñaron un papel fundamental en las soluciones del problema de Shepard y el de Buseman-Petty y en el estudio de las propiedades geométricas de los espacios L1 y L-1, aparecen también en muchos otros problemas de Geometría Convexa y Teoría Local de Espacios de Banach, y constituyen un marco natural desde el que atacar tanto cuestiones de dualidad sobre secciones y proyecciones como cuestiones relacionadas con las transformadas esféricas de Radon y Coseno y la transformada de Fourier.

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Zonoide en R^n

Un zonoide en R^n es cuerpo convexo simétrico respecto al origen que puede ser aproximado (en la métrica de Hausdorff) por sumas de Minkowski finitas de segmentos. Los zonoides aparecen de manera natural en diferentes contextos dentro de geometría convexa, física, teoría del control óptimo y análisis funcional.

Cuerpos intersección

Otra de las definiciones equivalentes de zonoide conduce a la noción de cuerpo proyección, que definimos formalmente en la siguiente sección. La clase de los cuerpos intersección se considera ''dual'' de la de los cuerpos proyección. La noción fue introducida por E. Lutwak en para cuerpos estrellados respecto al origen y extendida posteriormente.

Cuerpo convexo K en R^n

Dado un cuerpo convexo K en R^n, siempre se le puede asignar de manera natural un cuerpo proyección Pi(K) y un cuerpo intersección I(K), que en el caso de que K sea la bola euclídea coinciden con ella. Por tanto, una pregunta natural es si existen otros puntos fijos no triviales de los operadores Pi e I.

Responder a esta pregunta constituye uno de nuestros objetivos fundamentales. Pretendemos extender los resultados obtenidos por Fish, Nazarov, Ryabogin y Zvavitch, quienes probaron que la bola euclídea es el único punto fijo del operador I en un cierto entorno suyo, tomado en la distancia de Banach-Mazur.

Cuerpo estrellado

Es conocido que un cuerpo estrellado es de intersección si su función radial es la transformada esférica de Radon de una medida par positiva. Este hecho nos permite reformular la pregunta anterior a una equivalente en el marco del Análisis Armónico, lo que permite otro enfoque de aproximación al problema y nuevas consecuencias.

Dualidad entre cuerpos intersección y proyección

Es conocido que los duales de los zonoides son cuerpos intersección, pero el recíproco no se cumple. Nos planteamos, entre otros problemas, si existe una constante c independiente de la dimensión de manera que cada cuerpo intersección esté a distancia menor que c del dual de un zonoide.

Empleo de técnicas de Análisis Funcional

En general, planteamos el empleo de técnicas de Análisis Funcional (como la correspondencia entre cuerpos convexos simétricos y normas, o el estudio de los subespacios de L1) para aportar nuevos enfoques que permitan resolver los problemas planteados. En definitiva, nuestra propuesta apuesta decididamente por el aumento en cantidad y calidad en investigación en ciencia básica a la vez que conjuga técnicas variadas de las Matemáticas, con el fin de que esta interacción de técnicas proporcione un resultado mejor que la suma de las partes individuales.