El principal objetivo durante la estancia del profesor Marcos Dajczer en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia es continuar profundizando en las aplicaciones geométricas del principio del máximo generalizado de Omori-Yau para el estudio de las curvaturas medias de subvariedades. Los temas de investigación aquí propuestos están estrechamente relacionados con los intereses investigadores del grupo de "Geometría Diferencial y Convexa" de la Universidad de Murcia y en especial con los del responsable del grupo receptor, el profesor Luis J. Alías, por lo que estamos plenamente convencidos de que la colaboración entre el investigador extranjero y el grupo receptor de la Universidad de Murcia será altamente provechosa y se traducirá en interesantes resultados.

Además, el éxito esperado de la estancia del profesor Marcos Dajczer en la Universidad de Murcia viene avalado por la profunda y estrecha colaboración científica que dicho investigador extranjero ha venido realizando con el grupo receptor desde que en el curso 2004-2005, y dentro del programa de estancias de investigadores extranjeros en España del MECD, el citado investigador realizó una estancia de 12 meses en Murcia que supuso el comienzo de una fructífera cooperación científica. A esta le siguió una segunda estancia realizada en el curso de 2012-2013 también por un periodo de 12 meses que fue igualmente exitosa.

Estamos convencidos que esta nueva estancia que ahora proponemos continuará en la misma línea.

Objetivos concretos

1. Establecer nuevas aplicaciones del principio del máximo generalizado de Omori-Yau, en sus versiones fuerte y débil, para el estudio de la geometría extrínseca global de subvariedades del espacio euclídeo. En este sentido, merece la pena recordarse que, como consecuencia de los trabajos de Pigola, Rigoli y Setti, se sigue que el principio del máximo de Omori-Yau se verifica en toda subvariedad propiamente inmersa y con curvatura media acotada en el espacio euclídeo. En particular, el principio se verifica en todo grafo entero y minimal del espacio euclídeo, por lo que resulta natural plantearse el reto de encontrar una nueva demostración del teorema clásico de Bernstein sobre grafos minimales como aplicación del principio del máximo.
2. Extender el estudio de la curvatura media de hipersuperficies para espacios ambientes todavía más generales. En esta dirección es de interés el caso en que el ambiente tiene una estructura de submersion Riemanniana.
3. Muchos de los resultados mencionados anteriormente se refieren a grafos de algún tipo sobre dominios compactos. Pretendemos también estudiar el caso de dominios no compactos y, en particular, el de grafos enteros.

Sin ninguna duda, la estancia del profesor Dajczer en la Universidad de Murcia contribuirá de manera decisiva al fortalecimiento, el desarrollo y la potenciación del grupo receptor, ya que los intereses científicos e investigadores del profesor Dajczer y, en especial, los diversos problemas sobre estimaciones óptimas de las curvaturas de subvariedades que se propone estudiar, encajan perfectamente con los intereses investigadores del grupo receptor. Por ello, consideramos que dicha estancia de investigación será altamente provechoso, tanto para el grupo receptor como para la propia institución de la Universidad de Murcia.