Muchos fenómenos naturales pueden describirse a través de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDPs). Este tipo de ecuaciones son una poderosa herramienta que permite describir matemáticamente objetos con un comportamiento complejo: desde el movimiento de los planetas al movimiento de un corazón humano. Muchas de estas ecuaciones son no lineales, presentando discontinuidades en los parámetros, la solución, el término fuente o una combinación de ellos.

Algunas veces es imposible obtener una solución explícita de estas ecuaciones, siendo necesario usar métodos numéricos para obtener una aproximación de dicha solución.

Objetivo Principal

El principal objetivo de este proyecto es desarrollar técnicas numéricas capaces de obtener soluciones precisas de EDOs que presenten discontinuidades en la solución o en el lado derecho. Estos problemas, también llamados problemas de Filippov, aparecen en campos diversos, por ejemplo: la mecánica, los sistemas biológicos, la ingeniería eléctrica o la teoría de control automático.

Desafíos y Metodología

Si la discontinuidad se encuentra en el lado derecho de la EDO, cuando intentamos resolver el problema mediante métodos numéricos clásicos no adaptados a la presencia de discontinuidades, dichos métodos suelen sufrir una pérdida de precisión cuando se cruza la discontinuidad, quedan limitados a orden 1. Una adaptación precisa del método cerca de la discontinuidad suele ser necesaria para conservar el orden global que el método numérico presenta en zonas de suavidad.

Enfoque Propuesto

Nuestro objetivo principal consistirá en encontrar métodos de tipo Runge-Kutta corregidos y métodos multipaso corregidos que nos permitan resolver EDOs con discontinuidades de una forma precisa.