Este proyecto se circunscribe a la rama del Álgebra que históricamente se conoce como Álgebra No Conmutativa, pero que, a su vez, está conectada con otras ramas de la Matemática y de la Ciencia en general, como la Teoría de Números, la Geometría Algebraica, la Topología Algebraica, la Lógica y Ciencias de la Computación. Supone una continuación de proyectos análogos presentados por el grupo y que han sido ininterrumpidamente financiados durante más de 30 años.

La temática central del mismo gira en torno a la teoría de anillos y módulos desde una perspectiva aritmética, homológica, categórica y aplicada. De forma más precisa, nos planteamos estudiar problemas en el contexto del Álgebra No Conmutativa que se dividen en tres grandes bloques; a saber, (1) Teoría de Categorías, Álgebra Homológica, Teoría de Anillos y Módulos (2) Anillos de grupo y temas relacionados y (3) Técnicas algebraicas en códigos correctores de errores.

1. Teoría de Categorías, Álgebra Homológica, Teoría de Anillos y Módulos

En este bloque pretendemos avanzar en cuestiones y problemas abiertos, así como en el desarrollo de nuevas teorías que aglutinen y contextualicen resultados previos en la literatura. De forma más extendida, Abordaremos problemas del Álgebra homológica desde una perspectiva moderna a través de técnicas avanzadas de categorías de funtores. Continuaremos con el estudio de las categŕías exactas cerradas para límites directos cuya descripción en términos de sus objetos puro-inyectivos sugiere la exsitencia de un espectro ¿puro-maximal¿. Trabajaremos en la identificación de t-estructuras en categorías derivadas de categorías de Grothendieck.

2. Anillos de grupo y temas relacionados

Aquí nos planteamos avanzar en problemas clásicos en la teoría, como el Problema del Isomorfismo con el ambicioso objetivo de conocer cuál es la línea que divide a las familias de grupos con respuesta positiva de los demás. También abordaremos el problema del Grafo Primo para grupos casi simples. Intentaremos una reducción del Problema del Espectro y también desarrollar una teoría de anillos de división graduados por grupoides en el estilo de Cohn, Malcomson y Schofield. En cuanto a las acciones parciales de grupos, abordaremos el estudio de la teoría de Morita para álgebras graduadas, desde el punto de vista de estas representaciones parciales.

3. Técnicas algebraicas en códigos correctores de errores

En la sociedad moderna, información es riqueza y su transmisión se ha convertido en un proceso esencial. La Teoría de Códigos tiene una función relevante en dicho proceso, con lo que constituye una aplicación por excelencia de la matemática. Dentro de las familias de códigos, los códigos de Reed-Muller son una de las más importantes por las enormes posibilidades de implementar métodos de descodificación. Dentro de dichos métodos, la descodificación por permutación se ha convertido en un clásico y trabajaremos en su implementación para esta familia. Otra técnica de descodificación clásica es la llamada descodificación por localización, y dentro de ella, el algoritmo de Berlekamp-Massey es el método más usado. Continuaremos con nuestras aportaciones a la extensión de este algoritmo a códigos abelianos multivariables; en particular, el problema del cálculo de tablas incompletas de síndromes.