El estudio de las cubiertas y envolventes se inició en el año 1953, en el cual Eckman y Schopf probaron que todo módulo sobre un anillo asociativo tiene una envolvente inyectiva. A finales de 1950 Bass estudia el concepto dual al de envolvente inyectiva: el de cubierta proyectiva. Contrariamente a lo que sucede con las envolventes inyectivas, las cubiertas proyectivas no siempre existen y Bass caracterizó en el trabajo anterior los anillos para los cuales todo módulo tiene una cubierta proyectiva: los anillos perfectos.

Otros autores estudiaron diferentes tipos de cubiertas y envolventes, por ejemplo Fuchs y Warfield en estudieron envolventes puro inyectivas, y Enochs estudió y probó la existencia de cubiertas libres de torsión de módulos sobre un dominio de integridad.

Con estos precedentes, en el año 1981, Enochs definió el concepto general de F-cubierta y F-envolvente para una clase arbitraria de módulos F. Usando esta notación Bass prueba que si un anillo es tal que todo módulo tiene una cubierta proyectiva, entonces todo módulo sobre él tiene una cubierta plana. Con lo que, implícitamente, esto suponía que mientras las cubiertas proyectivas no son frecuentes, los módulos podrían siempre tener cubiertas planas.

Esta conjetura se formuló explícitamente como una conjetura (la conjetura de la cubierta plana) que ha permanecido abierta durante casi 20 años y ha dado lugar a múltiples estudios y abierto nuevos campos de investigación en el ámbito del álgebra homológica. La solución a la conjetura plana apareció publicada en 2001 de dos formas distintas.

Posteriormente, esta conjetura se ha extendido a numerosas categorías: categorías de representaciones de quivers, de complejos de módulos, de haces sobre un espacio topológico, etc. De particular interés es el estudio de la existencia de cubiertas planas en categorías sin suficientes proyectivos, porque es bien conocido que su existencia nos permite calcular resoluciones que son únicas salvo homotopía, luego proporcionarán la misma homología cuando un funtor aditivo (contravariante o covariante) se aplica sobre ellos. Por tanto la existencia de cubiertas planas en categorías de este tipo vendría a suplir, en algún sentido, la carencia de un generador proyectivo.

Por otra parte, antes de la posterior resolución a la conjetura de la cubierta plana, Jinzhong Xu probó que los módulos sobre anillos de coordenadas de variedades algebraicas tienen cubiertas planas, con lo que surge de forma natural la cuestión de saber si este resultado se puede extender a variedades algebraicas, o más generalmente a esquemas. Con estos precedentes el problema de estudiar la existencia de cubiertas planas en la categoría de haces quasi-coherentes (de la cual se sabe que no tiene suficientes proyectivos) está plenamente justificado.

Por lo tanto una primera cuestión que pretendemos abordar en nuestro proyecto es si este u otro tipo de cubiertas existen para la categoría Qco(X) (categoría de haces quasi-coherentes sobre cualquier tipo de esquema X). En este sentido, en [EE] se prueba que para un esquema, la categoría Qco(X) admite cubiertas planas. Sin embargo recientemente diferentes autores han considerado otros esquemas más generales, como son los esquemas formales, los esquemas inductivos o las pilas algebraicas en el sentido de Artin. Uno de nuestros primeros objetivos en la tesis será intentar extender los resultados sobre la existencia de cubiertas planas a las categorías de haces quasi--coherentes sobre este tipo de esquemas.