El proyecto se propone investigar el efecto de la analiticidad en el ámbito de los sistemas dinámicos continuos en dimensión 2, es decir, qué fenómenos dinámicos aparecen cuando la función que define un sistema de este tipo es analítica.

En términos más concretos, investigaremos la naturaleza topológica de los conjuntos omega-límite para flujos analíticos bidimensionales, en particular en el toro. El problema concreto que nos ocupa está bien entendido en el caso de flujos definidos sobre todo el plano, la esfera o el plano proyectivo, pero la dinámica en el toro es mucho más difícil de dilucidar por la aparición de recurrencias no triviales, es decir, órbitas que se acumulan en sí mismas sin ser periódicas. Es importante subrayar que no se trata de generalizar "per se": muchos problemas de las ciencias, donde la periodicidad juega un papel importante, encuentran su formulación natural aquí.

Como hemos dicho, en el caso del plano, la esfera y el plano proyectivo, el problema está bien entendido pero aún queda por aclarar qué pasa en los flujos definidos sobre abiertos propias de estas superficies. El solicitante realizó el curso pasado su trabajo fin de máster bajo la supervisión del Prof. Jiménez. En él el solicitante recopiló toda la información sobre funciones analíticas que se necesitará en la tesis y se familiarizó por el problema central de la misma en el contexto del plano. Durante la elaboración del mismo descubrimos que un lema técnico fundamental en un artículo escrito por el mismo Prof. Jiménez y por el Prof. Jaume Llibre (de la Universidad Autónoma de Barcelona), formulado en principio para superficies arbitrarias, contiene un serio error. Aunque puede corregirse (y así se hizo en el trabajo fin de máster) de modo que los resultados principales del referido artículo sigan siendo válidos, no ocurre lo mismo con la última sección del artículo, donde se esboza una posible clasificación de los conjuntos omega-límites para el caso de abiertos del plano o del plano proyectivo. De hecho disponemos ya de ejemplos no contemplados en dicha clasificación. La primera tarea será por tanto cerrar definitivamente el problema en estos ámbitos para posteriormente encarar con garantías el resto de la tesis, que sin duda presentará más dificultad.

La investigación se realizará en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia, bajo la dirección del Prof. Jiménez y con la cobertura del grupo de investigación de Sistemas Dinámicos de la Región de Murcia (http://www.um.es/sistdinamicos).

Expondremos más detalles sobre la actividad que deseamos realizar en el anexo dedicado a la memoria.