El presente proyecto se enmarca dentro del campo de la optimización de ecuaciones en derivadas parciales estocásticas de tipo elíptico. De manera específica, nos centraremos en problemas de optimización de forma. Este tipo de problemas consiste en encontrar la forma óptima de un dominio que minimiza o maximiza un criterio dado (por ejemplo, la rigidez de una estructura elástica).

Este problema despierta un gran interés tanto en el campo de la matemática aplicada como en diferentes ramas de la ingeniería puesto que su resolución permite obtener sistemáticamente diseños conceptuales nuevos y eficientes durante las primeras etapas de diseño. Tradicionalmente, los trabajos existentes en el campo de optimización de forma abordan el problema bajo un enfoque determinista, donde los parámetros de entrada de la ecuación en derivadas parciales (EDP) que gobierna el problema son perfectamente conocidos.

Sin embargo, es conocido que los diseños obtenidos bajo este enfoque son óptimos en teoría y bajo condiciones cercanas a las nominales. Lejos de las condiciones nominales el comportamiento puede degradarse o incluso dar lugar a diseños no factibles. Este hecho supone una importante limitación a la hora de su aplicación a problemas reales de ingeniería.

Por este motivo resulta de gran interés la incorporación de las fuentes de incertidumbres del problema real en la formulación matemática. De manera resumida, se describen a continuación los objetivos principales del proyecto y su interés.

Objetivos

El objetivo global del proyecto es la resolución del problema de optimización de forma en problemas gobernados por EDPs estocásticas de tipo elíptico. Mediante la resolución de este problema se pretente proporcionar soluciones óptimas de una forma eficiente y poco sensibles frente a incertidumbres, facilitando su aplicación a problemas reales de ingeniería.

1. Resolución numérica del problema de optimización de forma robusta para el sistema de la elasticidad lineal.
2. Resolución numérica del problema de optimización de forma fiable para el sistema de la elasticidad lineal con restricciones de tensión.
3. Obtención de resultados de existencia de solución para los problemas planteados en las líneas 1 y 2, incluyendo restricciones adicionales de tipo topológico, geométrico y de regularidad.
4. Paralelización de los métodos de optimización robusta de forma, utilizando unidades de procesamiento gráfico (Graphics Processing Units-GPUs).
5. Interacción con la Industria relacionada con la temática del proyecto.

Interés

Consideramos que los resultados obtenidos del proyecto supondrían una valiosa aportación tanto en el campo de la matemática aplicada, por el estudio matemático riguroso del problema de existencia de solución y de la justificación del cálculo de la derivada de forma, como de la ingeniería, por la resolución numérica del problema de elasticidad lineal y el tratamiento de restricciones de tensión.

Así mismo, cabe destacar el marcado carácter aplicado del proyecto y la más que probable colaboración o transferencia futura de tecnología a varias empresas ubicadas en Murcia.