matemáticas

Este proyecto de tesis aborda la casi inexplorada conexión entre dos ramas de la Matemática muy distintas en apariencia, cual son la Teoría de Representaciones, cuya herramienta principal son el manejo de quivers y su combinatoria, y el Álgebra Homotópica, esta en su vertiente más moderna, técnica y poderosa de las infinito-categorías. Planteamos centrarnos en una fenómeno interesante de la Teoría de Representaciones que se remonta a sus orígenes: aunque uno miraba a las representaciones de clases de álgebras sobre diferentes cuerpos, muchos resultados de clasificación no dependían del cuerpo en cuestión. La razón para este hecho es bastante profunda, en concreto, que propiedades y simetrías análogas de categorías de representaciones existen a menudo, en mucha mayor generalidad, en representaciones sobre cualquier teoría de homotopía estable. Entre los ambiciosos objetivos del proyecto a trabajar se encuentran la generalización de resultados previos obtenidos en el contexto de derivadores por Groth y Stovicek, así como el estudio del proceso de mutación de t-estructuras en el contexto de las infinito-categorías estables.

Mi proyecto de tesis tiene como marco general la teoría de los retículos de Banach. Más concretamente, estudio los retículos de Banach libres generados por determinadas estructuras, tales como los espacios de Banach y los retículos, si bien me centro más en el caso particular de los conjuntos linealmente ordenados. El concepto de objeto libre es bien conocido, puede expresarse en el lenguaje general de la teoría de categorías, y se ha probado de gran utilidad en diversas áreas tanto en análisis como en álgebra. Sin embargo, en el contexto de los retículos de Banach su introducción ha sido reciente. En primer lugar, tal concepto se definió para conjuntos, y posteriormente, se generalizó a espacios de Banach, el cual contiene al caso de los conjuntos como caso particular. Por ejemplo, se demuestra que si A es un conjunto, entonces el retículo de Banach libre generado por él como tal es igual al retículo de Banach libre generado por el espacio de Banach l_1(A) consistente en todas las sucesiones de números reales indexadas en A absolutamente convergentes. En esta línea, se demuestra que el retículo de Banach libre generado por un conjunto satisface la propiedad de Nakano, mientras que esta no se satisface en general para los retículos de Banach libres generados por espacios de Banach. Nosotros consideramos también el retículo de Banach libre generado por un retículo. Lo definimos de manera similar a como se hace en estos casos y vimos que cumple la propiedad universal de los retículos libres. Estudiamos también bajo qué condiciones este objeto satisface ciertas condiciones de cadena. Por ejemplo, hemos estudiado la propiedad “CCC” (condición de cadena contable) en el caso de que la estructura de partida es un conjunto linealmente ordenado. También se han estudiado otras propiedades, como es la proyectividad.