homología

Este proyecto de tesis aborda la casi inexplorada conexión entre dos ramas de la Matemática muy distintas en apariencia, cual son la Teoría de Representaciones, cuya herramienta principal son el manejo de quivers y su combinatoria, y el Álgebra Homotópica, esta en su vertiente más moderna, técnica y poderosa de las infinito-categorías. Planteamos centrarnos en una fenómeno interesante de la Teoría de Representaciones que se remonta a sus orígenes: aunque uno miraba a las representaciones de clases de álgebras sobre diferentes cuerpos, muchos resultados de clasificación no dependían del cuerpo en cuestión. La razón para este hecho es bastante profunda, en concreto, que propiedades y simetrías análogas de categorías de representaciones existen a menudo, en mucha mayor generalidad, en representaciones sobre cualquier teoría de homotopía estable. Entre los ambiciosos objetivos del proyecto a trabajar se encuentran la generalización de resultados previos obtenidos en el contexto de derivadores por Groth y Stovicek, así como el estudio del proceso de mutación de t-estructuras en el contexto de las infinito-categorías estables.

Drinfeld introduce una clase de fibrados vectoriales, que generalizan los clásicos fibrados vectoriales finito--dimensionales. Estos nuevos fibrados vectoriales son cruciales, como Drinfeld muestra a la hora de estudiar los haces quasi—coherentes sobre un esquema inductivo. Por todo ello, nuestro plan de trabajo constará de las siguientes partes: - Dar teoremas de estructura sobre los fibrados vectoriales introducidos por Drinfeld. Esto conlleva una revisión de conceptos de Teoría de Anillos como son el de filtración respecto una clase y sus principales Propiedades. - Utilizar dichos teoremas para comprender mejor la categoría de haces quasi--coherentes sobre esquemas inductivos y pilas algebraicas. En esta fase abordaríamos el estudio y análisis de la existencia de cubiertas relativas a la clase formada por los fibrados vectoriales generalizados de Drinfeld. - Finalmente nuestro plan de trabajo se enfocaría en estudiar la categoría de complejos de haces quasi--coherentes sobre estos esquemas (formales, esquemas inductivos y pilas algebraicas) con el objeto de analizar algunas propiedades de las categorías derivadas subyacentes.