Nace en Mula en 1993. En 2015 obtiene el título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Murcia. A continuación cursa el máster en Matemática Avanzada en la Universidad de Murcia, obteniendo el título en el año 2016. Simultáneamente realiza el máster en Formación del Profesorado en la Universidad de Murcia, obteniendo el título en el año 2016. Desde septiembre hasta diciembre de ese mismo año disfruta de una beca de iniciación a la investigación de la universidad de Murcia. En el año 2018 obtiene una ayuda de la Fundación Séneca para realizar la tesis doctoral en la Universidad de Murcia. Paralelamente está asociado al desarrollo de los proyectos "Teoría de conjuntos y espacios de Banach" y "Topología, Análisis y Conjuntos" de la Universidad de Murcia. Ha realizado estancias externas en la Universidad Complutense y el Instituto de Ciencias Matemáticas de Madrid en el año 2018, y en la Universidad Carolina de Praga en el año 2020. Posee comunicaciones en congresos nacionales e internacionales, así como publicaciones científicas en revistas de carácter nacional e internacional. Domina el inglés y tiene conocimientos de francés.
Mi proyecto de tesis tiene como marco general la teoría de los retículos de Banach. Más concretamente, estudio los retículos de Banach libres generados por determinadas estructuras, tales como los espacios de Banach y los retículos, si bien me centro más en el caso particular de los conjuntos linealmente ordenados. El concepto de objeto libre es bien conocido, puede expresarse en el lenguaje general de la teoría de categorías, y se ha probado de gran utilidad en diversas áreas tanto en análisis como en álgebra. Sin embargo, en el contexto de los retículos de Banach su introducción ha sido reciente. En primer lugar, tal concepto se definió para conjuntos, y posteriormente, se generalizó a espacios de Banach, el cual contiene al caso de los conjuntos como caso particular. Por ejemplo, se demuestra que si A es un conjunto, entonces el retículo de Banach libre generado por él como tal es igual al retículo de Banach libre generado por el espacio de Banach l_1(A) consistente en todas las sucesiones de números reales indexadas en A absolutamente convergentes. En esta línea, se demuestra que el retículo de Banach libre generado por un conjunto satisface la propiedad de Nakano, mientras que esta no se satisface en general para los retículos de Banach libres generados por espacios de Banach. Nosotros consideramos también el retículo de Banach libre generado por un retículo. Lo definimos de manera similar a como se hace en estos casos y vimos que cumple la propiedad universal de los retículos libres. Estudiamos también bajo qué condiciones este objeto satisface ciertas condiciones de cadena. Por ejemplo, hemos estudiado la propiedad “CCC” (condición de cadena contable) en el caso de que la estructura de partida es un conjunto linealmente ordenado. También se han estudiado otras propiedades, como es la proyectividad.
Análisis Funcional
Teoría de conjuntos y espacios de Banach; Topología, Análisis y Conjuntos; Análisis Funcional y Lógica
Director: Antonio Avilés López
Programa de doctorado en Matemáticas
01/03/2018 - 31/08/2021
Defendida
Comunicaciones a congresos:
- Universidad Complutense de Madrid. 10 de abril de 2018. “Chain conditions in free Banach lattices”.
- Geometrical Aspects of Banach Spaces 2018. Del 25 al 29 de junio de 2018 en Birmingham. “The free Banach lattice
generated by a lattice”.
Publicaciones:
- A. Avilés, G. Plebanek, J. D. Rodríguez Abellán, Chain conditions in free Banach lattices, J. Math. Anal. Appl.
465 (2018), 1223-1229.
- A. Avilés, J. D. Rodríguez Abellán, The free Banach lattice generated by a lattice, Positivity, 23 (2019), 581-597.
El retículo de Banach libre sobre un espacio de Banach satisface la condición de cadena sigma-acotada.
El retículo de Banach libre sobre un retículo admite una descripción explícita como espacio de funciones, y además, si el retículo es un conjunto linealmente ordenado, este satisface la condición de cadena contable si, y solo si, se mete dentro del conjunto de los números reales como conjunto linealmente ordenado..
El retículo de Banach libre sobre un retículo finito es proyectivo. Si el retículo es un conjunto linealmente ordenado infinito y este contiene, o bien una sucesión creciente no acotada superiormente, o bien una sucesión decreciente no acotada inferiormente, entonces el retículo de Banach libre sobre él no es proyectivo.
Los retículos de Banach c_0 y l_p (para p entre 2 e infinito) no son proyectivos, y además, c_0 está complementado como retículo de Banach en el retículo de Banach libre generado por él visto como espacio de Banach.
Si E es un espacio de Banach cuyo retículo de Banach libre generado por él es proyectivo, entonces E tiene la propiedad de Schur.
El retículo de Banach de las funciones continuas, C(K), sobre un espacio topológico compacto de Hausdorff es proyectivo si, y solo si, K es un retracto de entornos absoluto en la categoría de los espacios topológicos compactos de Hausdorff.
Universidad Complutense de Madrid/Abril de 2018/Retículos de Banach
Instituto de Ciencias Matemáticas de Madrid/Abril de 2018/Retículos de Banach
Universidad Carolina de Praga/Enero-Abril de 2020/Retículos de Banach
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El principal objetivo de la estancia es poder entrar en contacto con otros grupos de investigación distintos al que pertenezco, con todos los beneficios que ello supone dentro del mundo de la investigación.
En primer lugar, se intentará motivar a los miembros del grupo de investigación del grupo receptor a trabajar en los problemas en los que estamos centrados los del grupo de investigación de la Universidad de Murcia, y más concretamente, los relativos a mi tesis doctoral. Para ello, entre otras cosas, hablaré en algún seminario que se hace semanalmente en la universidad en la que voy a estar con el fin de explicar todo aquello en lo que estamos trabajando.
Además de esto, también intentaré importar temas de investigación en los que se centran allí para poder trabajarlos aquí con los miembros de mi grupo de investigación.
Actualmente son muchos los vínculos que tienen ambas universidades. Mi director de tesis (Antonio Avilés López) tiene diversos trabajos con gente que trabaja allí, y en especial, con el que sería mi tutor (Ondrej Kalenda). En lo que respecta a mí, también tengo contactos con varias personas de aquella universidad. He coincidido en varios congresos con ellos y ya hemos estado trabajando en algunos temas conjuntamente.
Alguno de los posibles resultados previstos podría ser obtener respuestas a diversos problemas que aún no se han podido resolver y que forman parte de los objetivos que nos habíamos planteado al comienzo del año. Por ejemplo, cualquiera de los siguientes:
* Ver si todo retículo de Banach isomórficamente proyectivo es isomorfo a un retículo de Banach isométricamente proyectivo.
* Ver para qué espacios de Banach el correspondiente retículo de Banach libre es débilmente compactamente generado.
* Dada una sucesión acotada {en} en un espacio de Banach, caracterizar cuándo esa sucesión es débilmente nula en el retículo de Banach libre generado por el espacio de Banach y cuándo es equivalente a la base de l1.
* Ver si que dos espacios de Banach sean isomorfos es una condición necesaria para que los correspondientes retículos de Banach libres también lo sean.
* Ver bajo qué condiciones, el retículo de Banach libre generado por un retículo infinito es proyectivo.
* Ver si hay un retículo de Banach universal inyectivo para la clase de los retículos de Banach no separables. El caso separable ya es conocido. Tal retículo es el de las funciones continuas del conjunto de Cantor en L1.
Además de ellos, también se intentará estudiar otros problemas más relacionados con los que allí se trabajan y que pueden tener una estrecha relación con los nuestros.
Es muy conocido en el mundo de los analistas matemáticos que uno de los actuales temas de investigación más importantes del grupo receptor son los “esqueletos de proyección”, y se sabe que son una herramienta que permite resolver muchos problemas de gran dificultad que abordados sin ello es muy difícil de poder atacar. Por ello, entre otras cosas, se estudiará qué clase de retículos de Banach admiten un esqueleto de proyección. En base a esta idea, y con la perspectiva de llevar trabajo adelantado, ya tenemos algunos resultados dentro de esta teoría, pero aún queda un camino largo por recorrer. Para ser más precisos, uno de los resultados que ya tenemos es que si E es un espacio de Banach que admite un esqueleto de proyección, entonces el correspondiente retículo de Banach libre generado por él también lo admite.
Otro tema de investigación que está muy de moda y que tiene uno de sus focos principales en Praga son los “espacios de Lipschitz libres”, otro tipo de objeto que se enmarca dentro de la categoría de objetos libres, al igual que lo hacen los retículos de Banach libres (mi prinicipal tema de investigación). Por ello, otro de los posibles resultados previstos es poder tener propiedades que sean conocidas ya para los espacios de Lipschitz libres y que sean trasladables a los retículos de Banach libres.
Como he comentado anteriormente, el principal objetivo de la estancia es poder establecer un vínculo más estrecho entre los dos grupos de investigación de ambas universidades. Esto no solo es muy útil en el mundo de la investigación, sino que es estrictamente necesario, pues los grupos de investigación, en cualquier materia, necesitan de la ayuda de los demás para poder alcanzar los objetivos propuestos y abrirse nuevas puertas.
Hay varias formas de realizar esto. Es bien conocido que los congresos es una de ellas, pero no menos importante es la realización de estancias externas de miembros de investigación de un centro en uno diferente.
En mi caso, estoy trabajando en los retículos de Banach libres. Pues bien, este tema, al ser relativamente bastante novedoso, es un poco desconocido allí. Por eso, uno de los motivos que justifican el interés de la estancia es que se extienda un poco más y nuevos investigadores puedan colaborar para trabajar conmigo en él y que me aporten herramientas en las que ellos están familiarizados para poder intentar sacarle el máximo partido.
No cabe duda de que, además, me permitirá trabajar en otros temas en los que no estoy tan acostumbrado y por ello, que la tesis pueda tener un enfoque nuevo y que no solo se centre en retículos de Banach.
Además, no me cabe duda que combinando las herramientas y los temas con los que ellos trabajan y con los que yo lo hago, puedan salir resultados potentes e incluso poder desarrollar alguna nueva línea de investigación.
2020
Actualmente la principal línea de investigación durante la estancia son los retículos de Banach libres. Estamos intentando resolver problemas que aún tenemos pendientes.
17/01/2020
22/04/2020
REPUBLICA CHECA
Universidad Carolina
Departamento de Análisis Matemático
Gente muy trabajadora, amable, y con mucha pasión por la investigación
Lo elegí porque Praga es uno de los focos principales de investigación en el Análisis Funcional. No solo en la Universidad Carolina se trabaja en este campo, sino que hay muchos otros centros en los que se investiga dentro de este área de conociemiento, como por ejemplo, el Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la República Checa. Además, tenemos grandes vínculos entre nuestra universidad y muchos investigadores de Praga.
Se espera que los conocimientos y las técnicas adquiridas durante la estancia ayuden a resolver problemas que tenemos pendientes, así como motivar el estudio de otros nuevos.
Es muy probable que los conociemientos adquiridos originen una nueva línea de investigación. En muchas ocasiones, nuevas teorías surgen de combinar varias distintas entre sí.
El grupo de acogida y el de origen sí que mantienen una relación estable. No hay más que ver la cantidad de artículos que hay teniendo como coautores miembros de ambos grupos. Aún así, se espera que la estancia haga más fuerte este vínculo.
Mi ciudad de estancia ha sido Praga, la capital de la República Checa, y para mi gusto, una de las más bonitas de toda Europa. Aunque Praga es un museo en sí misma, hay algunas visitas imprescindibles que uno tiene que hacer sí o sí cuando va, como son las siguientes: el Puente de Carlos, la Torre de la Pólvora, la Plaza de la Ciudad Vieja, el Castillo de Praga, la Catedral de San Vito, el Callejón del Oro y el Cementerio Judío. Llegar a Praga es muy sencillo. La manera en la que yo lo hice fue en avión desde el aeropuerto de Barajas de Madrid, y solo se tarda una tres horas. Para conseguir alojamiento la mejor opción es mirar en booking, y ya elegir en función de la localización que uno desee y el presupuesto que esté dispuesto a pagar. Ahora bien, una de las principales ventajas de Praga es su fantástico transporte público. Puedes ir de un sitio a cualquiero otro en muy poco tiempo y de manera muy cómoda y sencilla. Google Maps ayuda mucho también a la hora de moverte por Praga, pues tiene todos los horarios de todo el transporte público en su base de datos. En cuanto al clima, recomiendo viajar en primavera, pues el tiempo es estupendo. El invierno es bastante frío y el verano bastante caluroso, casi al igual que en España. Sin duda, una de las ciudades imprescindibles de visitar para todo el que le guste viajar.
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